Prépa, 1re année › Suites réelles : convergence › Opérations avec des limites infinies
Opérations avec des limites infinies : énoncé (MPSI)
Propriété
Opérations avec des limites infinies
- Somme. Si $(u_n)$ est minorée (en particulier si elle converge ou tend vers $+\infty$) et $v_n\to+\infty$, alors $u_n+v_n\to+\infty$. Énoncé symétrique pour $-\infty$.
- Produit. Si $u_n\to\ell\neq0$ ou $u_n\to\pm\infty$, et $v_n\to\pm\infty$, alors $u_nv_n\to\pm\infty$, le signe suivant la règle des signes.
- Inverse. Si $v_n\to\pm\infty$, alors $\frac1{v_n}\to0$. Si $v_n\to0$ et $v_n>0$ à partir d'un certain rang, alors $\frac1{v_n}\to+\infty$.
- Formes indéterminées : $+\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac\infty\infty$, $\frac00$, et pour les puissances $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$. Elles demandent une transformation de l'expression.
Démonstration : Opérations avec des limites infinies
Démonstration
Preuve du cas de la somme
Soit $m$ un minorant de $(u_n)$ et $A\in\mathbb R$. Comme $v_n\to+\infty$, il existe $N$ tel que $v_n\ge A-m$ pour $n\ge N$. Alors $u_n+v_n\ge m+(A-m)=A$ pour $n\ge N$. Donc $u_n+v_n\to+\infty$.
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Dans le cours
Suites réelles : convergence : Opérations avec des limites infinies