Une urne contient $5$ boules numérotées de $1$ à $5$. On tire simultanément $2$ boules et on note $X$ le plus grand des deux numéros obtenus.
- Déterminer la loi de $X$.
- Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
Prendre pour $\Omega$ l'ensemble des parties à $2$ éléments de $[\![1,5]\!]$, muni de l'équiprobabilité.
Pour $k$ fixé, l'événement $(X=k)$ est formé des parties $\{j,k\}$ avec $j<k$ : il suffit de les compter.
Pour la variance, calculer $E(X^2)$ par la formule de transfert, puis utiliser König-Huygens.
- On prend pour $\Omega$ l'ensemble des parties à $2$ éléments de $[\![1,5]\!]$, muni de l'équiprobabilité (tirage simultané, boules indiscernables au toucher). On a $|\Omega|=\binom52=10$.
Le plus grand de deux numéros distincts vaut au moins $2$ et au plus $5$, donc $X(\Omega)=[\![2,5]\!]$. Pour $k\in[\![2,5]\!]$, l'événement $(X=k)$ est formé des parties $\{j,k\}$ avec $j\in[\![1,k-1]\!]$ : il y en a $k-1$. Donc $$P(X=k)=\frac{k-1}{10},\qquad k\in[\![2,5]\!].$$
| $k$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=k)$ | $1/10$ | $2/10$ | $3/10$ | $4/10$ |
Contrôle : $\frac{1+2+3+4}{10}=1$.
- Par définition, $$E(X)=\frac{2\times1+3\times2+4\times3+5\times4}{10}=\frac{2+6+12+20}{10}=4.$$ Par la formule de transfert, $$E(X^2)=\frac{4\times1+9\times2+16\times3+25\times4}{10}=\frac{4+18+48+100}{10}=17.$$ Par König-Huygens, $V(X)=E(X^2)-E(X)^2=17-16=1$.
$P(X=k)=\frac{k-1}{10}$ pour $k\in[\![2,5]\!]$ ; $E(X)=4$ ; $V(X)=1$