Soit $X$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $[\![-2,3]\!]$ et $Y=X^2$.
- Déterminer la loi de $Y$. En déduire $P(Y\leqslant1)$.
- Calculer $E(Y)$ de deux façons : à partir de la loi de $Y$, puis par la formule de transfert.
- Calculer $E(X)$ et $V(X)$. Vérifier le résultat en remarquant que $X+3$ suit une loi uniforme usuelle.
$X$ prend $6$ valeurs, chacune avec probabilité $\frac16$.
Pour $P(Y=y)$, regrouper les valeurs $x$ telles que $x^2=y$ ; attention, $-3$ n'est pas une valeur de $X$.
$X+3\sim\mathcal U([\![1,6]\!])$ et $V(X+3)=V(X)$.
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$X(\Omega)=\{-2,-1,0,1,2,3\}$ et $P(X=x)=\frac16$ pour chacune de ces valeurs. Les carrés sont $4,1,0,1,4,9$, donc $Y(\Omega)=\{0,1,4,9\}$ et $$P(Y=0)=P(X=0)=\tfrac16,\quad P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=\tfrac13,$$ $$P(Y=4)=P(X=-2)+P(X=2)=\tfrac13,\quad P(Y=9)=P(X=3)=\tfrac16,$$ car $-3\notin X(\Omega)$. Contrôle : $\frac16+\frac13+\frac13+\frac16=1$. Ainsi $P(Y\leqslant1)=\frac16+\frac13=\frac12$.
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À partir de la loi de $Y$ : $$E(Y)=0\cdot\tfrac16+1\cdot\tfrac13+4\cdot\tfrac13+9\cdot\tfrac16=\tfrac53+\tfrac32=\tfrac{19}6.$$ Par la formule de transfert : $$E(Y)=E(X^2)=\frac{(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2+3^2}{6}=\frac{4+1+0+1+4+9}6=\frac{19}6.$$
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$E(X)=\frac{-2-1+0+1+2+3}6=\frac12$, et par König-Huygens $$V(X)=\frac{19}6-\frac14=\frac{38-3}{12}=\frac{35}{12}.$$ Vérification : $D=X+3$ suit $\mathcal U([\![1,6]\!])$, donc $E(D)=\frac72$ et $V(D)=\frac{6^2-1}{12}=\frac{35}{12}$. Or $E(X)=E(D)-3=\frac12$ et $V(X)=V(D)=\frac{35}{12}$ : c'est cohérent.
$P(Y=0)=\frac16$, $P(Y=1)=\frac13$, $P(Y=4)=\frac13$, $P(Y=9)=\frac16$ ; $E(Y)=\frac{19}6$ ; $E(X)=\frac12$, $V(X)=\frac{35}{12}$