Prépa, 1re année › Variables aléatoires sur un univers fini › Variances des lois usuelles
Variances des lois usuelles : énoncé (MPSI)
Propriété
Variances des lois usuelles
- $X\sim\mathcal{B}(p)$ : $V(X)=p(1-p)$.
- $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ : $V(X)=np(1-p)$.
- $X\sim\mathcal{U}([\![1,n]\!])$ : $V(X)=\dfrac{n^2-1}{12}$.
Démonstration : Variances des lois usuelles
Démonstration
Bernoulli : $X^2=X$, donc $E(X^2)=p$ et $V(X)=p-p^2=p(1-p)$.
Uniforme : $E(X^2)=\frac1n\sum_{k=1}^nk^2=\frac{(n+1)(2n+1)}6$, d'où $$V(X)=\frac{(n+1)(2n+1)}6-\frac{(n+1)^2}4=\frac{(n+1)\big(2(2n+1)-3(n+1)\big)}{12}=\frac{(n+1)(n-1)}{12}.$$ Binomiale : voir plus bas, après la variance d'une somme.
S’entraîner
- Deux tirages sans remise
- Somme et différence de deux Bernoulli
- Somme de deux lois binomiales indépendantes
Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Variances des lois usuelles