Prépa, 1re année › Variables aléatoires sur un univers fini › Effet d'une transformation affine, variance nulle
Effet d'une transformation affine, variance nulle : énoncé (MPSI)
Propriété
Effet d'une transformation affine, variance nulle
- Pour $a,b\in\mathbb{R}$ : $V(aX+b)=a^2V(X)$ et $\sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)$.
- $V(X)=0$ si et seulement si $P(X=E(X))=1$ ($X$ est presque sûrement constante).
Démonstration : Effet d'une transformation affine, variance nulle
Démonstration
On a $E(aX+b)=aE(X)+b$, donc $aX+b-E(aX+b)=a\big(X-E(X)\big)$ et $V(aX+b)=E\big(a^2(X-E(X))^2\big)=a^2V(X)$.
Par la formule de transfert, $V(X)=\sum_{x\in X(\Omega)}(x-m)^2P(X=x)$ avec $m=E(X)$. C'est une somme de termes positifs : elle est nulle si et seulement si chaque terme l'est, c'est-à-dire $P(X=x)=0$ pour tout $x\neq m$, ce qui équivaut à $P(X=m)=1$.
S’entraîner
- Plus grand numéro tiré
- Tirs sur une cible
- Loi définie à une constante près
- Deux tirages sans remise
- Somme et différence de deux Bernoulli
Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Effet d'une transformation affine, variance nulle