Variance d'une somme : énoncé (MPSI)

Soient $X_1,\dots,X_n$ mutuellement indépendantes de loi $\mathcal B(p)$. Alors $S=\sum X_i\sim\mathcal B(n,p)$ et, les $X_i$ étant en particulier deux à deux indépendantes, $$V(S)=\sum_{i=1}^nV(X_i)=np(1-p).$$ Comme la variance ne dépend que de la loi, toute variable de loi $\mathcal{B}(n,p)$ a pour variance $np(1-p)$.

Reprenons $X=\sum_i\mathbf 1_{A_i}$, $A_i=(\sigma(i)=i)$, $n\geqslant2$. Chaque $\mathbf 1_{A_i}$ suit $\mathcal B(\frac1n)$, de variance $\frac1n\big(1-\frac1n\big)$.

Pour $i\neq j$, $\mathbf 1_{A_i}\mathbf 1_{A_j}=\mathbf 1_{A_i\cap A_j}$ et $P(A_i\cap A_j)=\frac{(n-2)!}{n!}=\frac1{n(n-1)}$, d'où $$\mathrm{Cov}(\mathbf 1_{A_i},\mathbf 1_{A_j})=\frac1{n(n-1)}-\frac1{n^2}=\frac{1}{n^2(n-1)}.$$ Il y a $\binom n2=\frac{n(n-1)}2$ paires $i<j$, donc $$V(X)=n\cdot\frac1n\Big(1-\frac1n\Big)+2\cdot\frac{n(n-1)}2\cdot\frac1{n^2(n-1)}=1-\frac1n+\frac1n=1.$$ Les $\mathbf 1_{A_i}$ ne sont pas indépendantes : il fallait les covariances.

Par la formule de transfert, $E(XY)=\sum_{1\leqslant j\leqslant i\leqslant3}ij\cdot\frac1{3i}=\frac13\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^ij=\frac13(1+3+6)=\frac{10}3$.

Or $E(X)=2$ et $E(Y)=\frac32$, donc $\mathrm{Cov}(X,Y)=\frac{10}3-3=\frac13$. La covariance est non nulle, ce qui confirme que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.