Prépa, 2e année › Intégration sur un intervalle quelconque › Intégrale sur un intervalle ouvert
Intégrale sur un intervalle ouvert : définition (MP)
Définition
Intégrale sur un intervalle ouvert
Si $f$ est continue par morceaux sur $]a,b[$, l'intégrale $\int_a^bf$ converge si, pour un $c\in]a,b[$, les deux intégrales $\int_a^cf$ et $\int_c^bf$ convergent. Ce choix de $c$ n'a pas d'importance (relation de Chasles), et $\int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf$.
Attention
Les deux bornes séparément
$\int_{-x}^xt\,\mathrm dt=0$ pour tout $x$, et pourtant $\int_{-\infty}^{+\infty}t\,\mathrm dt$ diverge : $\int_0^xt\,\mathrm dt=\frac{x^2}2\to+\infty$. On étudie toujours chaque borne indépendamment, sans faire tendre les deux en même temps.
S’entraîner
- Intégrales à paramètre de type Riemann
- L'intégrale de $\frac{\sin t}t$
- Intégrale de Frullani
- Problème : intégrales de Wallis et intégrale de Gauss
- L'intégrale de Fresnel $\int_0^{+\infty}\sin(t^2)\,\mathrm dt$
Dans le cours
Intégration sur un intervalle quelconque : Intégrale sur un intervalle ouvert