- Étudier la convergence de $\int_0^\pi\frac{\mathrm dt}{\sqrt{\sin t}}$ et de $\int_0^1\frac{\mathrm dt}{1-t^2}$.
- Montrer que $\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t^{3/2}}\,\mathrm dt$ converge absolument.
- Pour quels réels $\alpha$ l'intégrale $\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t^\alpha(1+t)}$ converge-t-elle ?
En $\pi$, poser $s=\pi-t$ ou utiliser $\sin t=\sin(\pi-t)\sim\pi-t$.
Pour 3, couper en $1$ et étudier chaque borne.
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$\frac1{\sqrt{\sin t}}$ est continue et positive sur $]0,\pi[$. En $0$, $\sim\frac1{\sqrt t}$ ; en $\pi$, $\sin t=\sin(\pi-t)\sim\pi-t$, donc $\sim\frac1{\sqrt{\pi-t}}$ : convergence aux deux bornes. Pour la seconde, $\frac1{1-t^2}=\frac1{(1-t)(1+t)}\sim\frac1{2(1-t)}$ en $1$, positive, exposant $1$ : divergence.
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En $0$ : $\frac{|\sin t|}{t^{3/2}}\sim\frac1{\sqrt t}$, intégrable. En $+\infty$ : $\frac{|\sin t|}{t^{3/2}}\le\frac1{t^{3/2}}$, intégrable. La fonction est intégrable sur $]0,+\infty[$.
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La fonction est continue et positive sur $]0,+\infty[$. En $0$, $\frac1{t^\alpha(1+t)}\sim\frac1{t^\alpha}$ : convergence si et seulement si $\alpha<1$. En $+\infty$, $\sim\frac1{t^{\alpha+1}}$ : convergence si et seulement si $\alpha+1>1$, soit $\alpha>0$. L'intégrale converge si et seulement si $0<\alpha<1$.
- La première converge, la seconde diverge. 2. Oui. 3. $0<\alpha<1$.