Changement de variableEncadrement
Soit $0<a<b$. Montrer que $\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}t\,\mathrm dt$ converge et vaut $\ln\frac ba$.
Indice 1
Ne pas séparer l'intégrale en deux : chacune divergerait en $0$. Travailler sur $[\varepsilon,X]$.
Indice 2
Après les changements de variable $u=at$ et $u=bt$, il reste $\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon}\frac{e^{-u}}u\,\mathrm du-\int_{aX}^{bX}\frac{e^{-u}}u\,\mathrm du$.
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