Prépa, 2e année › Intégration sur un intervalle quelconque › Intégrales de référence
Intégrales de référence : énoncé (MP)
Théorème
Intégrales de référence
- Riemann en $+\infty$ : $\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$, et vaut alors $\frac1{\alpha-1}$.
- Riemann en $0$ : $\int_0^1\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha<1$, et vaut alors $\frac1{1-\alpha}$.
- Riemann en une borne finie : $\int_a^b\frac{\mathrm dt}{(b-t)^\alpha}$ et $\int_a^b\frac{\mathrm dt}{(t-a)^\alpha}$ convergent si et seulement si $\alpha<1$.
- Exponentielle : $\int_0^{+\infty}e^{-at}\,\mathrm dt$ converge si et seulement si $a>0$, et vaut $\frac1a$.
- Logarithme : $\int_0^1\ln t\,\mathrm dt$ converge et vaut $-1$.
Démonstration : Intégrales de référence
Démonstration
Pour $\alpha\ne1$ et $x>1$ : $\int_1^x\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}=\frac{x^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}$, qui a une limite finie en $+\infty$ si et seulement si $1-\alpha<0$ ; pour $\alpha=1$, $\int_1^x\frac{\mathrm dt}t=\ln x\to+\infty$. En $0$, $\int_x^1\frac{\mathrm dt}{t^\alpha}=\frac{1-x^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ a une limite finie en $0^+$ si et seulement si $1-\alpha>0$, et $\int_x^1\frac{\mathrm dt}t=-\ln x\to+\infty$. Les bornes finies s'y ramènent par translation. Enfin $\int_0^xe^{-at}\,\mathrm dt=\frac{1-e^{-ax}}a$ pour $a\ne0$, et $\int_x^1\ln t\,\mathrm dt=\left[t\ln t-t\right]_x^1=-1-x\ln x+x\to-1$.
S’entraîner
- Quatre intégrales à étudier
- Calculs par changement de variable
- Intégrales à paramètre de type Riemann
- Équivalents d'intégrales
- Problème : intégrales de Wallis et intégrale de Gauss
Dans le cours
Intégration sur un intervalle quelconque : Intégrales de référence