Prépa, 2e année › Réduction des endomorphismes › Déterminer le polynôme minimal
Déterminer le polynôme minimal : méthode (MP)
Méthode
Déterminer le polynôme minimal
- Calculer et factoriser $\chi_A=\prod_i(X-\lambda_i)^{m_i}$ (sur $\mathbb C$ si besoin).
- $\pi_A$ divise $\chi_A$ (Cayley-Hamilton) et admet chaque $\lambda_i$ pour racine (section 3) : $\pi_A=\prod_i(X-\lambda_i)^{k_i}$ avec $1\leq k_i\leq m_i$.
- Tester les candidats par degré croissant : le premier qui annule $A$ est $\pi_A$.
- Si une relation simple ($A^2=\dots$) fournit un annulateur, partir de ses diviseurs unitaires.
Exemple
Polynôme minimal de A = I + J
Pour $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$, $\chi_A=(X-1)^2(X-4)$, donc $\pi_A\in\{(X-1)(X-4),\ (X-1)^2(X-4)\}$. Or $(A-I_3)(A-4I_3)=J(J-3I_3)=J^2-3J=0$, puisque $J^2=3J$. Donc $\pi_A=(X-1)(X-4)$.
S’entraîner
- Éléments propres et diagonalisation d'une matrice 3×3
- Une matrice de permutation
- Une suite récurrente linéaire d'ordre 3
- Diagonalisabilité d'une famille de matrices triangulaires
- Endomorphisme annulé par X³ − 4X
Dans le cours
Réduction des endomorphismes : Déterminer le polynôme minimal