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Étudier la diagonalisabilité d'une matrice : méthode (MP)

Méthode

Étudier la diagonalisabilité d'une matrice

Chercher d'abord un annulateur simple (relation donnée par l'énoncé, du type $A^2=\dots$). S'il est scindé à racines simples sur $\mathbb K$, conclure : diagonalisable.
Sinon, calculer $\chi_A$. S'il n'est pas scindé sur $\mathbb K$, $A$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb K$.
S'il est scindé à racines simples, $A$ est diagonalisable.
Sinon, pour chaque valeur propre multiple $\lambda$ (inutile pour les valeurs propres simples), comparer $\dim E_\lambda(A)=n-\mathrm{rg}(A-\lambda I_n)$ à $m_\lambda$. $A$ est diagonalisable si et seulement s'il y a égalité pour toutes.
Pour diagonaliser, juxtaposer des bases des sous-espaces propres dans $P$, ranger les valeurs propres dans $D$ dans le même ordre, et vérifier $AP=PD$ (plus rapide que de calculer $P^{-1}$).

Remarque

Deux résultats à connaître

Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable, dans une base orthonormée : c'est le théorème spectral, démontré dans le chapitre sur les espaces euclidiens.
Une matrice $A$ de rang $1$ s'écrit $A=XY^\top$ et vérifie $A^2=\mathrm{tr}(A)A$. Elle est diagonalisable si et seulement si $\mathrm{tr}(A)\neq 0$ : si $\mathrm{tr}(A)\neq 0$, $X(X-\mathrm{tr}(A))$ est annulateur scindé à racines simples ; si $\mathrm{tr}(A)=0$, $A$ est nilpotente non nulle (section 6).

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