Caractérisation par un polynôme annulateur : énoncé (MP)

(i)$\Rightarrow$(iii). Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base de vecteurs propres, $u(e_j)=\mu_je_j$, et $P=\prod_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}(X-\lambda)$. Pour tout $j$, $P(u)(e_j)=P(\mu_j)e_j=0$ car $\mu_j\in\mathrm{Sp}(u)$. Donc $P(u)=0$ et $\pi_u$ divise $P$. Mais $\pi_u$ admet chaque valeur propre pour racine, donc $P$ divise $\pi_u$. Ces deux polynômes unitaires sont égaux, et $\pi_u$ est scindé à racines simples.

(iii)$\Rightarrow$(ii). Immédiat : $\pi_u$ est annulateur.

(ii)$\Rightarrow$(i). Soit $P=c\prod_{j=1}^r(X-\alpha_j)$ annulateur, $c\neq 0$, les $\alpha_j$ deux à deux distincts. Les $X-\alpha_j$ sont deux à deux premiers entre eux, et le lemme des noyaux donne $$E=\mathrm{Ker}\,P(u)=\bigoplus_{j=1}^r\mathrm{Ker}(u-\alpha_j\mathrm{Id}_E).$$ Chaque $\mathrm{Ker}(u-\alpha_j\mathrm{Id}_E)$ non nul est un sous-espace propre. En concaténant des bases des noyaux non nuls, on obtient une base de $E$ formée de vecteurs propres.