Diagonalisation d'un endomorphisme induit : énoncé (MP)

Reprenons $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$, avec $\chi_A=(X-1)^2(X-4)$. On a $\dim E_1(A)=2=m_1$ et $\dim E_4(A)=1=m_4$ : $A$ est diagonalisable (ce que donnait aussi $\pi_A=(X-1)(X-4)$, scindé à racines simples). Avec $$P=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$ on a $A=PDP^{-1}$. Vérification colonne par colonne : $A(1,1,1)=(4,4,4)$, $A(1,-1,0)=(1,-1,0)$, $A(1,0,-1)=(1,0,-1)$, et $\det P=3\neq 0$.

Soit $B=\begin{pmatrix}3&-1&1\\2&0&1\\1&-1&2\end{pmatrix}$. En développant $\det(XI_3-B)$ selon la première ligne : $$\chi_B=(X-3)(X-1)^2-(-2X+3)-(X-2)=(X-1)\big[(X-3)(X-1)+1\big]=(X-1)(X-2)^2.$$ Contrôle : $\mathrm{tr}(B)=5=1+2+2$ et $\det B=4=1\times2\times2$.

Pour $\lambda=2$ : $B-2I_3=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&-2&1\\1&-1&0\end{pmatrix}$. La deuxième ligne est la somme des deux autres, qui ne sont pas colinéaires : le rang vaut $2$ et $\dim E_2(B)=1<2=m_2$. $B$ n'est diagonalisable ni dans $\mathcal M_3(\mathbb R)$ ni dans $\mathcal M_3(\mathbb C)$. On trouve $E_2(B)=\mathrm{Vect}\big((1,1,0)\big)$ et $E_1(B)=\mathrm{Vect}\big((0,1,1)\big)$.

• Projecteur : $X(X-1)$ annule $p$ et est scindé à racines simples, donc $p$ est diagonalisable et $E=\mathrm{Ker}\,p\oplus\mathrm{Im}\,p$.
• Symétrie : $X^2-1=(X-1)(X+1)$ annule $s$, donc $s$ est diagonalisable.
• Si $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ vérifie $A^k=I_n$ ($k\geq 1$), $X^k-1=\prod_{j=0}^{k-1}(X-e^{2ij\pi/k})$ est scindé à racines simples sur $\mathbb C$ : $A$ est diagonalisable dans $\mathcal M_n(\mathbb C)$. Sur $\mathbb R$, c'est faux : $R^4=I_2$, mais $R$ n'est pas diagonalisable dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$.