Caractérisations par les sous-espaces propres : énoncé (MP)

La somme $S=\sum_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}E_\lambda(u)$ est toujours directe (section 3), donc $\dim S=\sum_\lambda\dim E_\lambda(u)$.

(i)$\Rightarrow$(ii). Une base de vecteurs propres est contenue dans $S$, donc $E=S$, et la somme est directe.

(ii)$\Rightarrow$(i). En concaténant des bases des $E_\lambda(u)$, on obtient une base de $E$ adaptée à la somme directe, formée de vecteurs propres.

(ii)$\Leftrightarrow$(iii). $S$ est un sous-espace de $E$ : $S=E$ si et seulement si $\dim S=\dim E$.

(i)$\Rightarrow$(iv). Dans une base de vecteurs propres, la matrice $D$ de $u$ est diagonale, donc $\chi_u=\chi_D$ est scindé et $\sum_\lambda m_\lambda=n$. Par (iii), $\sum_\lambda\dim E_\lambda(u)=n$. Comme $\dim E_\lambda(u)\leq m_\lambda$ pour chaque $\lambda$, l'égalité des sommes impose $\dim E_\lambda(u)=m_\lambda$ pour tout $\lambda$.

(iv)$\Rightarrow$(iii). $\chi_u$ étant scindé de degré $n$, $\sum_\lambda m_\lambda=n$, donc $\sum_\lambda\dim E_\lambda(u)=n$.