Morphisme d'algèbres : énoncé (MP)

L'application $\varphi_u : \mathbb K[X]\to\mathcal L(E),\ P\mapsto P(u)$ est un morphisme d'algèbres : pour $P,Q\in\mathbb K[X]$ et $\lambda\in\mathbb K$, $$(\lambda P+Q)(u)=\lambda P(u)+Q(u),\qquad (PQ)(u)=P(u)\circ Q(u),\qquad 1(u)=\mathrm{Id}_E.$$ Conséquences :

• $P(u)$ et $Q(u)$ commutent, puisque $PQ=QP$ ;
• l'image $\mathbb K[u]=\{P(u),\ P\in\mathbb K[X]\}$ est une sous-algèbre commutative de $\mathcal L(E)$ ;
• si $A=\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(u)$, alors $\mathrm{Mat}_{\mathcal B}(P(u))=P(A)$ ; si $A=SBS^{-1}$ avec $S$ inversible, alors $P(A)=SP(B)S^{-1}$ ;
• pour tout $P$, $\mathrm{Ker}\,P(u)$ et $\mathrm{Im}\,P(u)$ sont stables par $u$, car $P(u)$ commute avec $u$ (section 1).