Lemme de décomposition des noyaux : énoncé (MP)

Cas $r=2$. Soit $P=P_1P_2$ avec $P_1$ et $P_2$ premiers entre eux. Par Bézout, il existe $A_1,A_2\in\mathbb K[X]$ tels que $A_1P_1+A_2P_2=1$, d'où $$A_1(u)\circ P_1(u)+A_2(u)\circ P_2(u)=\mathrm{Id}_E.\qquad(\ast)$$

• Inclusions : $P(u)=P_2(u)\circ P_1(u)=P_1(u)\circ P_2(u)$, donc $\mathrm{Ker}\,P_1(u)$ et $\mathrm{Ker}\,P_2(u)$ sont inclus dans $\mathrm{Ker}\,P(u)$.
• Intersection : si $x\in\mathrm{Ker}\,P_1(u)\cap\mathrm{Ker}\,P_2(u)$, $(\ast)$ donne $x=A_1(u)\big(P_1(u)(x)\big)+A_2(u)\big(P_2(u)(x)\big)=0$.
• Somme : soit $x\in\mathrm{Ker}\,P(u)$. On pose $x_1=A_2(u)\circ P_2(u)(x)$ et $x_2=A_1(u)\circ P_1(u)(x)$ ; par $(\ast)$, $x=x_1+x_2$. Puis $P_1(u)(x_1)=(A_2P_1P_2)(u)(x)=A_2(u)\big(P(u)(x)\big)=0$, donc $x_1\in\mathrm{Ker}\,P_1(u)$ ; de même $P_2(u)(x_2)=A_1(u)\big(P(u)(x)\big)=0$.

Donc $\mathrm{Ker}\,P(u)=\mathrm{Ker}\,P_1(u)\oplus\mathrm{Ker}\,P_2(u)$.

Récurrence sur $r\geq 2$. Supposons le résultat vrai pour $r-1$ polynômes. $P_r$ est premier avec chacun des $P_1,\dots,P_{r-1}$, donc avec leur produit $Q=P_1\cdots P_{r-1}$. Le cas $r=2$ donne $\mathrm{Ker}\,P(u)=\mathrm{Ker}\,Q(u)\oplus\mathrm{Ker}\,P_r(u)$, et l'hypothèse de récurrence donne $\mathrm{Ker}\,Q(u)=\bigoplus_{i=1}^{r-1}\mathrm{Ker}\,P_i(u)$. On conclut par associativité de la somme directe.