Prépa, 2e année › Réduction des endomorphismes › Polynôme minimal

Polynôme minimal : énoncé (MP)

Théorème

Polynôme minimal

On suppose $E$ de dimension finie. L'idéal annulateur de $u$ n'est pas réduit à $\{0\}$, et il existe un unique polynôme unitaire $\pi_u$ tel que $$\{P\in\mathbb K[X],\ P(u)=0\}=\pi_u\,\mathbb K[X].$$ $\pi_u$ est le polynôme minimal de $u$ : c'est le polynôme unitaire annulateur de plus petit degré, et les annulateurs de $u$ sont exactement ses multiples. On définit de même $\pi_A$ pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ ; deux matrices semblables ont le même polynôme minimal.

Démonstration : Polynôme minimal

Démonstration

Preuve

Existence d'un annulateur non nul : $\dim\mathcal L(E)=n^2$, donc la famille $(u^0,u^1,\dots,u^{n^2})$, qui compte $n^2+1$ éléments, est liée. Une relation non triviale $\sum_{k=0}^{n^2}a_ku^k=0$ fournit $P=\sum a_kX^k\neq 0$ annulateur.

Générateur : parmi les annulateurs non nuls, on en choisit un de degré minimal $d$, que l'on divise par son coefficient dominant ; on le note $\pi$. Tout multiple de $\pi$ est annulateur, car $(Q\pi)(u)=Q(u)\circ\pi(u)=0$. Réciproquement, soit $P$ annulateur ; la division euclidienne donne $P=Q\pi+R$ avec $\deg R<d$. Alors $R(u)=P(u)-Q(u)\circ\pi(u)=0$ ; par minimalité de $d$, $R=0$, donc $\pi$ divise $P$.

Unicité : deux polynômes unitaires engendrant le même idéal se divisent mutuellement, donc sont associés ; étant unitaires, ils sont égaux.

Si $A=SBS^{-1}$, alors $P(A)=SP(B)S^{-1}$, donc $P(A)=0\iff P(B)=0$ : $A$ et $B$ ont le même idéal annulateur.

Remarque

En dimension infinie

En dimension infinie, il peut n'exister aucun annulateur non nul. Pour la dérivation $D : P\mapsto P'$ de $\mathbb K[X]$, soit $P=\sum_k a_kX^k\neq 0$ et $k_0$ le plus petit indice tel que $a_{k_0}\neq 0$. Comme $D^k(X^{k_0})=0$ pour $k>k_0$, on obtient $P(D)(X^{k_0})=a_{k_0}\,k_0!\neq 0$. Le polynôme minimal de $D$ n'existe pas.

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Dans le cours

Réduction des endomorphismes : Polynôme minimal