Exercice corrigé : Noyaux itérés d'un endomorphisme nilpotent

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension $n\geq 2$ et $u\in\mathcal L(E)$ nilpotent d'indice $q$. Pour $k\in\mathbb N$, on note $N_k=\mathrm{Ker}\,u^k$ et $d_k=\dim N_k$.

Partie I. Noyaux itérés

1. Montrer que $N_k\subset N_{k+1}$ pour tout $k$, que $d_0=0$ et que $d_k=n$ pour $k\geq q$.
2. Montrer que s'il existe $k$ tel que $N_k=N_{k+1}$, alors $N_{k+j}=N_k$ pour tout $j\in\mathbb N$.
3. En déduire que $d_0<d_1<\cdots<d_q=n$, puis que $q\leq n$.
4. Soit $k\geq1$ et $S$ un supplémentaire de $N_k$ dans $N_{k+1}$. Montrer que $u(S)\subset N_k$, que la restriction de $u$ à $S$ est injective et que $u(S)\cap N_{k-1}=\{0\}$. En déduire $d_{k+1}-d_k\leq d_k-d_{k-1}$.
5. En déduire que $d_k\leq k\,d_1$ pour tout $k$, puis que $q\,\dim\mathrm{Ker}\,u\geq n$. Montrer enfin que si $q=n$, alors $d_k=k$ pour $0\leq k\leq n$, et $\mathrm{rg}\,u=n-1$.

Partie II. Le cas $q=n$

On suppose dans cette partie que $q=n$.

6. Montrer qu'il existe $x\in E$ tel que $(u^{n-1}(x),\dots,u(x),x)$ soit une base de $E$. On pose $e_i=u^{n-i}(x)$ pour $1\leq i\leq n$ ; écrire la matrice $N$ de $u$ dans la base $(e_1,\dots,e_n)$.
7. Montrer que, pour $0\leq k\leq n$, $\mathrm{Ker}\,u^k=\mathrm{Vect}(e_1,\dots,e_k)=\mathrm{Im}\,u^{n-k}$.
8. Montrer que le commutant $\mathcal C(u)$ est égal à $\mathbb K[u]$, et en donner une base.
9. Montrer qu'il n'existe aucun $v\in\mathcal L(E)$ tel que $v^2=u$.