Théorème de Cayley-Hamilton : énoncé (MP)

Il suffit de montrer que $\chi_u(u)(x)=0$ pour tout $x\neq 0$. Soit $x\neq 0$ et $p$ le plus grand entier tel que $(x,u(x),\dots,u^{p-1}(x))$ soit libre ; on a $1\leq p\leq n$. La famille $(x,\dots,u^p(x))$ étant liée, $u^p(x)\in F=\mathrm{Vect}(x,\dots,u^{p-1}(x))$ : il existe $a_0,\dots,a_{p-1}$ tels que $u^p(x)=-\sum_{k=0}^{p-1}a_ku^k(x)$.

$F$ est stable par $u$ (l'image de chaque $u^k(x)$, $k\leq p-1$, est dans $F$), et la matrice de $u_F$ dans la base $(x,u(x),\dots,u^{p-1}(x))$ est la matrice compagnon de $Q=X^p+a_{p-1}X^{p-1}+\cdots+a_0$. Donc $\chi_{u_F}=Q$, et $$Q(u)(x)=u^p(x)+\sum_{k=0}^{p-1}a_ku^k(x)=0.$$ Comme $\chi_{u_F}$ divise $\chi_u$, on écrit $\chi_u=RQ$, et $\chi_u(u)(x)=R(u)\big(Q(u)(x)\big)=0$.