Exercice corrigé : Récurrence d'ordre 2 à racine double

On considère les suites réelles $(u_n)$ vérifiant $$\forall n\in\mathbb N,\quad u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n.$$

1. On pose $U_n=(u_n,u_{n+1})^\top$. Déterminer $M$ telle que $U_{n+1}=MU_n$. Calculer $\chi_M$ ; $M$ est-elle diagonalisable ?
2. Pour $n\in\mathbb N$, déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-2)^2$. En déduire $M^n$.
3. En déduire $u_n$ en fonction de $n$, $u_0$, $u_1$, puis vérifier que $u_n=(\alpha+\beta n)2^n$ pour des réels $\alpha,\beta$.
4. Expliciter $u_n$ lorsque $u_0=1$ et $u_1=4$.