Pour $(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2$ et $n\ge2$, on pose $u_n=\frac1{n^\alpha(\ln n)^\beta}$.
- Montrer que si $\alpha>1$, $\sum u_n$ converge.
- Montrer que si $\alpha<1$, $\sum u_n$ diverge.
- On suppose $\alpha=1$. Montrer que $\sum u_n$ converge si et seulement si $\beta>1$.
Pour 1, choisir $\delta\in]1,\alpha[$ et étudier $n^\delta u_n$.
Pour 2, étudier $nu_n$.
Pour 3, comparer à l'intégrale de $t\mapsto\frac1{t(\ln t)^\beta}$ ; changement de variable $x=\ln t$.
La série est à termes positifs.
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Soit $\delta=\frac{1+\alpha}2\in]1,\alpha[$. $n^\delta u_n=\frac1{n^{\alpha-\delta}(\ln n)^\beta}\to0$ par croissances comparées ($\alpha-\delta>0$), quel que soit $\beta$. Donc $u_n=o\left(\frac1{n^\delta}\right)$ et la série converge.
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$nu_n=\frac{n^{1-\alpha}}{(\ln n)^\beta}\to+\infty$ par croissances comparées ($1-\alpha>0$). Donc $u_n\ge\frac1n$ à partir d'un rang, et la série diverge.
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Si $\beta\le0$, $u_n\ge\frac1n$ pour $n\ge3$ : divergence. Si $\beta>0$, $f:t\mapsto\frac1{t(\ln t)^\beta}$ est continue, positive, décroissante sur $[2,+\infty[$, et le changement de variable $x=\ln t$ donne $$\int_2^N\frac{\mathrm dt}{t(\ln t)^\beta}=\int_{\ln2}^{\ln N}\frac{\mathrm dx}{x^\beta}.$$ Par comparaison série-intégrale, $\sum f(n)$ converge si et seulement si cette intégrale a une limite finie quand $N\to+\infty$, c'est-à-dire si et seulement si $\beta>1$ (intégrale de Riemann en $+\infty$).
Rédaction attendue : annoncer la positivité, le théorème de comparaison utilisé et les hypothèses (continuité, positivité, décroissance) de la comparaison série-intégrale.
$\sum\frac1{n^\alpha(\ln n)^\beta}$ converge si et seulement si $\alpha>1$, ou $\alpha=1$ et $\beta>1$.