Développements limitésTélescopage
Pour $a\in\mathbb R$ et $n\ge1$, on pose $u_n=\frac1n-a\ln\left(1+\frac1n\right)$.
- Déterminer la nature de $\sum u_n$ selon $a$.
- Pour la valeur de $a$ où la série converge, calculer sa somme en fonction de la constante d'Euler $\gamma=\lim\left(H_n-\ln n\right)$.
Indice 1
Développer à l'ordre 2 en $\frac1n$.
Indice 2
$\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac1k\right)$ se télescope.
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