Intégrale d'une fonction continue positive : définition (Terminale spé)
Intégrale d'une fonction continue positive
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;\,b]$, de courbe $\mathcal{C}_f$.
Le domaine sous la courbe est l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $a\le x\le b$ et $0\le y\le f(x)$. C'est la région délimitée par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est l'aire de ce domaine, exprimée en unités d'aire. On la note $$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$$ Les réels $a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale.
La variable est muette
La lettre $x$ ne joue aucun rôle dans la valeur de l'intégrale : $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\int_a^b f(u)\,\mathrm{d}u$. Le résultat est un nombre, qui ne dépend que de $f$, $a$ et $b$.
On a aussi $\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x=0$ : le domaine est un segment, d'aire nulle.
Calculs d'aires par la géométrie
- Fonction constante : pour $f(x)=3$ sur $[1\,;\,5]$, le domaine est un rectangle de largeur $4$ et de hauteur $3$, donc $\int_1^5 3\,\mathrm{d}x=12$.
- Fonction affine : pour $f(x)=x+1$ sur $[0\,;\,2]$, le domaine est un trapèze de bases $f(0)=1$ et $f(2)=3$ et de hauteur $2$. Donc $$\int_0^2 (x+1)\,\mathrm{d}x=\frac{(1+3)\times 2}{2}=4.$$
- Pour $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ sur $[0\,;\,1]$, la courbe est un quart de cercle de centre $O$ et de rayon $1$ (repère orthonormé), donc $\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{4}$.
S’entraîner
- Calculs directs d'intégrales
- Intégrales et aires géométriques
- Linéarité et relation de Chasles
- Primitives de fonctions composées
- Étudier une fonction définie par une intégrale
Dans le cours
Calcul intégral : Intégrale d'une fonction continue positive