Encadrer une intégrale par la méthode des rectangles : méthode (Terminale spé)

Quand $f$ est continue, positive et croissante sur $[a\,;\,b]$ :

1. On partage $[a\,;\,b]$ en $n$ intervalles de même longueur $h=\dfrac{b-a}{n}$, de bornes $x_k=a+kh$.
2. Sur chaque intervalle $[x_k\,;\,x_{k+1}]$, on encadre le domaine entre un rectangle de hauteur $f(x_k)$ et un rectangle de hauteur $f(x_{k+1})$.
3. On obtient $s_n\le\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le S_n$ avec $$s_n=h\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k),\qquad S_n=h\sum_{k=1}^{n}f(x_k).$$

Pour $f$ décroissante, les rôles de $s_n$ et $S_n$ s'échangent.

Exemple : $f(x)=x^2$ sur $[0\,;\,1]$ avec $n=4$, donc $h=\dfrac14$. $$s_4=\frac14\left(0+\frac1{16}+\frac4{16}+\frac9{16}\right)=\frac{7}{32},\qquad S_4=\frac14\left(\frac1{16}+\frac4{16}+\frac9{16}+\frac{16}{16}\right)=\frac{15}{32}.$$ Donc $0{,}21875\le\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x\le0{,}46875$. La valeur exacte, calculée plus loin, est $\dfrac13$. L'écart $S_n-s_n=h\,(f(b)-f(a))$ tend vers $0$ quand $n$ augmente : cette méthode se programme facilement en Python avec une boucle.