Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$ telles que $$\int_0^2f(x)\,\mathrm{d}x=3,\qquad\int_0^5f(x)\,\mathrm{d}x=7,\qquad\int_0^2g(x)\,\mathrm{d}x=4,\qquad\int_2^5g(x)\,\mathrm{d}x=-1.$$ Calculer :
- $\displaystyle\int_2^5f(x)\,\mathrm{d}x$
- $\displaystyle\int_5^2f(x)\,\mathrm{d}x$
- $\displaystyle\int_2^5\big(2f(x)-3g(x)\big)\,\mathrm{d}x$
- $\displaystyle\int_0^5\big(f(x)+g(x)\big)\,\mathrm{d}x$
- $\displaystyle\int_0^2\big(f(x)+2x\big)\,\mathrm{d}x$
Écrire la relation de Chasles avec les bornes $0$, $2$ et $5$.
Échanger les bornes change le signe de l'intégrale.
Pour la question 4, calculer d'abord $\int_0^5g(x)\,\mathrm{d}x$.
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Par la relation de Chasles, $\int_0^5f=\int_0^2f+\int_2^5f$, donc $$\int_2^5f(x)\,\mathrm{d}x=7-3=4.$$
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$\displaystyle\int_5^2f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_2^5f(x)\,\mathrm{d}x=-4.$
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Par linéarité, $$\int_2^5\big(2f(x)-3g(x)\big)\,\mathrm{d}x=2\int_2^5f(x)\,\mathrm{d}x-3\int_2^5g(x)\,\mathrm{d}x=2\times4-3\times(-1)=11.$$
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Par Chasles, $\int_0^5g=\int_0^2g+\int_2^5g=4+(-1)=3$. Par linéarité, $$\int_0^5\big(f(x)+g(x)\big)\,\mathrm{d}x=7+3=10.$$
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Par linéarité, et avec $x\mapsto x^2$ primitive de $x\mapsto2x$ : $$\int_0^2\big(f(x)+2x\big)\,\mathrm{d}x=3+\big[x^2\big]_0^2=3+4=7.$$
$4$ ; $-4$ ; $11$ ; $10$ ; $7$