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Valeur moyenne : définition (Terminale spé)
Définition
Valeur moyenne
Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a<b$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ est le réel $$\mu=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.$$
Remarque
Interprétation graphique et concrète
Si $f$ est positive, $\mu(b-a)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ : le rectangle de base $b-a$ et de hauteur $\mu$ a la même aire que le domaine sous la courbe.
En physique, si $v(t)$ est la vitesse d'un mobile à l'instant $t$, la distance parcourue entre $t_1$ et $t_2$ est $\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,\mathrm{d}t$ (pour $v\ge0$) et la vitesse moyenne est la valeur moyenne de $v$ sur $[t_1\,;\,t_2]$.
Exemple
Calculs de valeurs moyennes
- Valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0\,;\,3]$ : $$\mu=\frac{1}{3-0}\int_0^3x^2\,\mathrm{d}x=\frac13\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac13\times9=3.$$
- Valeur moyenne de $g(x)=e^x$ sur $[0\,;\,\ln2]$ : $$\mu=\frac{1}{\ln2}\big[e^x\big]_0^{\ln2}=\frac{2-1}{\ln2}=\frac{1}{\ln2}\approx1{,}44.$$
- Valeur moyenne de $\sin$ sur $[0\,;\,\pi]$ : $\mu=\dfrac{1}{\pi}\times2=\dfrac{2}{\pi}\approx0{,}64$.
S’entraîner
- Calculs directs d'intégrales
- Valeurs moyennes
- Deux intégrales jumelles
- Type bac : aire sous une courbe exponentielle