Terminale › Calcul intégral › Inégalité de la moyenne
Inégalité de la moyenne : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Inégalité de la moyenne
Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ avec $a<b$. S'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m\le f(x)\le M$ pour tout $x\in[a\,;\,b]$, alors $$m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le M(b-a),\qquad\text{donc}\qquad m\le\mu\le M.$$
Démonstration : on intègre l'encadrement $m\le f\le M$ sur $[a\,;\,b]$ (croissance, $a\le b$) en utilisant $\int_a^b m\,\mathrm{d}x=m(b-a)$, puis on divise par $b-a>0$.
Exemple
Utiliser l'inégalité de la moyenne
Sur $[1\,;\,2]$, la fonction $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ est décroissante, donc $\dfrac12\le\dfrac1x\le1$. L'intervalle est de longueur $1$, d'où $\dfrac12\le\int_1^2\dfrac{\mathrm{d}x}{x}\le1$, c'est-à-dire $\dfrac12\le\ln2\le1$. C'est cohérent avec $\ln2\approx0{,}693$.
S’entraîner
- Valeurs moyennes
- Encadrer une intégrale qu'on ne sait pas calculer
- Type bac : aire sous une courbe exponentielle
- Type bac : une suite d'intégrales avec ln(1+x)