On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=(x+1)e^{-x}$, et $\mathcal{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé.
Partie A
- Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
- Montrer que $f'(x)=-x\,e^{-x}$ et dresser le tableau de variations de $f$.
- Donner une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. En déduire que pour tout $x\ge0$, $0<f(x)\le1$.
Partie B
Pour $\lambda\ge0$, on pose $\displaystyle A(\lambda)=\int_0^{\lambda}f(x)\,\mathrm{d}x$.
- À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $A(\lambda)=2-(\lambda+2)e^{-\lambda}$.
- Interpréter $A(\lambda)$ graphiquement et déterminer $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)$.
- Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;\,2]$ (valeur exacte, puis approchée à $10^{-2}$ près).
- Calculer l'aire du domaine compris entre $T$, $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
- On considère la fonction Python ci-dessous.
from math import exp
def seuil():
n = 0
while 2 - (n + 2)*exp(-n) < 1.9:
n = n + 1
return n
Expliquer ce que renvoie cette fonction, puis déterminer la valeur renvoyée.
Pour la limite, écrire $f(x)=x\,e^{-x}+e^{-x}$ et utiliser les croissances comparées.
Pour l'intégration par parties, dériver $x+1$ et primitiver $e^{-x}$.
Pour la question B4, la courbe du haut est la tangente : utiliser la question A3. Pour B5, remarquer que $A$ est croissante puis calculer $A(3)$, $A(4)$, $A(5)$.
Partie A
-
$f(x)=x\,e^{-x}+e^{-x}$. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}x\,e^{-x}=0$, et $\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}=0$. Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$.
-
$f$ est dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables, et $$f'(x)=1\times e^{-x}+(x+1)\times(-e^{-x})=e^{-x}(1-x-1)=-x\,e^{-x}.$$ Pour $x\ge0$, $-x\le0$ et $e^{-x}>0$, donc $f'(x)\le0$, nul seulement en $0$ : $f$ est strictement décroissante.
| $x$ | $0$ | $+\infty$ | |
|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $0$ | $-$ | |
| $f$ | $1$ | décroissante | $0$ |
- $f(0)=1$ et $f'(0)=0$, donc $T$ a pour équation $y=1$. Comme $f$ est décroissante sur $[0\,;\,+\infty[$, $f(x)\le f(0)=1$ ; de plus $x+1>0$ et $e^{-x}>0$, donc $f(x)>0$. Ainsi $0<f(x)\le1$.
Partie B
-
On pose $u(x)=x+1$, $v'(x)=e^{-x}$, donc $u'(x)=1$, $v(x)=-e^{-x}$, fonctions dérivables à dérivées continues sur $[0\,;\,\lambda]$. $$A(\lambda)=\big[-(x+1)e^{-x}\big]_0^{\lambda}+\int_0^{\lambda}e^{-x}\,\mathrm{d}x=-(\lambda+1)e^{-\lambda}+1+\big[-e^{-x}\big]_0^{\lambda}=-(\lambda+1)e^{-\lambda}+1+1-e^{-\lambda}.$$ Donc $A(\lambda)=2-(\lambda+2)e^{-\lambda}$.
-
$f$ est continue et positive sur $[0\,;\,\lambda]$ : $A(\lambda)$ est l'aire, en u.a., du domaine délimité par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\lambda$. Comme $(\lambda+2)e^{-\lambda}=\lambda e^{-\lambda}+2e^{-\lambda}$ tend vers $0$ (croissances comparées), $\lim\limits_{\lambda\to+\infty}A(\lambda)=2$.
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$\mu=\dfrac{1}{2-0}A(2)=\dfrac{2-4e^{-2}}{2}=1-2e^{-2}\approx0{,}73$.
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D'après A3, sur $[0\,;\,1]$, $f(x)\le1$ : $T$ est au-dessus de $\mathcal{C}$. L'aire cherchée est $$\int_0^1\big(1-f(x)\big)\,\mathrm{d}x=1-A(1)=1-\big(2-3e^{-1}\big)=\frac3e-1\approx0{,}10\text{ u.a.}$$
-
La boucle augmente $n$ tant que $A(n)<1{,}9$. Comme $f>0$, $A$ est croissante (sa dérivée est $f$ d'après le théorème fondamental), donc la fonction renvoie le plus petit entier $n$ tel que $A(n)\ge1{,}9$, c'est-à-dire tel que $(n+2)e^{-n}\le0{,}1$.
$A(3)=2-5e^{-3}\approx1{,}751$ ; $A(4)=2-6e^{-4}\approx1{,}890$ ; $A(5)=2-7e^{-5}\approx1{,}953$.
Donc la fonction renvoie $5$.
$A(\lambda)=2-(\lambda+2)e^{-\lambda}$ ; limite $2$ ; $\mu=1-2e^{-2}$ ; aire $\dfrac3e-1$ ; seuil $5$