On pose $$I=\int_0^{\pi}e^x\cos x\,\mathrm{d}x\qquad\text{et}\qquad J=\int_0^{\pi}e^x\sin x\,\mathrm{d}x.$$
- À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $I=-e^{\pi}-1+J$.
- À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $J=-I$.
- En déduire les valeurs exactes de $I$ et $J$.
- Interpréter $J$ en termes d'aire et en donner une valeur approchée à $0{,}01$ près.
- Vérifier le résultat en dérivant $x\mapsto\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}$.
Dans les deux cas, poser $v'(x)=e^x$ et dériver la fonction trigonométrique.
Aucune des deux intégrations par parties ne conclut seule : elles renvoient l'une à l'autre.
Remplacer $J$ par $-I$ dans la relation de la question 1.
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On pose $u(x)=\cos x$, $v'(x)=e^x$, donc $u'(x)=-\sin x$, $v(x)=e^x$, fonctions dérivables à dérivées continues sur $[0\,;\,\pi]$. $$I=\big[e^x\cos x\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}(-\sin x)e^x\,\mathrm{d}x=\big(e^{\pi}\cos\pi-e^0\cos0\big)+J=-e^{\pi}-1+J.$$
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On pose $u(x)=\sin x$, $v'(x)=e^x$, donc $u'(x)=\cos x$, $v(x)=e^x$. $$J=\big[e^x\sin x\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\cos x\,e^x\,\mathrm{d}x=\big(e^{\pi}\sin\pi-e^0\sin0\big)-I=0-I=-I.$$
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En remplaçant $J$ par $-I$ dans la question 1 : $I=-e^{\pi}-1-I$, donc $2I=-(e^{\pi}+1)$ et $$I=-\frac{e^{\pi}+1}{2},\qquad J=\frac{e^{\pi}+1}{2}.$$
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Sur $[0\,;\,\pi]$, $e^x>0$ et $\sin x\ge0$, donc $x\mapsto e^x\sin x$ est continue et positive. $J$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de cette fonction, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\pi$. Avec $e^{\pi}\approx23{,}1407$, on obtient $J\approx12{,}07$ u.a.
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Soit $H(x)=\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}$. Par la dérivée d'un produit, $$H'(x)=\frac{e^x(\sin x-\cos x)+e^x(\cos x+\sin x)}{2}=\frac{2e^x\sin x}{2}=e^x\sin x.$$ $H$ est donc une primitive de $x\mapsto e^x\sin x$ et $$J=H(\pi)-H(0)=\frac{e^{\pi}(0+1)}{2}-\frac{1\times(0-1)}{2}=\frac{e^{\pi}+1}{2},$$ ce qui confirme le résultat.
$I=-\dfrac{e^{\pi}+1}{2}$ ; $J=\dfrac{e^{\pi}+1}{2}\approx12{,}07$