Calculer l'aire entre deux courbes : méthode (Terminale spé)

1. Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ sur l'intervalle (factorisation, tableau de signes). Les points où il s'annule sont les abscisses des points d'intersection.
2. Si $f-g$ garde un signe constant, intégrer « haut moins bas ».
3. Si $f-g$ change de signe en $c$, découper avec la relation de Chasles et intégrer sur chaque morceau la différence positive.
4. Donner le résultat en u.a., puis en cm$^2$ si les unités graphiques sont précisées.

Exemple avec changement de signe : $f(x)=x^3$ et $g(x)=x$ sur $[-1\,;\,1]$. On a $f(x)-g(x)=x(x-1)(x+1)$.

$$\mathcal{A}=\int_{-1}^0(x^3-x)\,\mathrm{d}x+\int_0^1(x-x^3)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0+\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac14+\frac14=\frac12\text{ u.a.}$$ On remarque que $\int_{-1}^1(x^3-x)\,\mathrm{d}x=0$ : sans découpage, on aurait trouvé une « aire » nulle, ce qui est faux.