Aire du domaine compris entre deux courbes : énoncé (Terminale spé)
Aire du domaine compris entre deux courbes
Soit $f$ et $g$ continues sur $[a\,;\,b]$ ($a\le b$) telles que $g\le f$ sur $[a\,;\,b]$. L'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est $$\mathcal{A}=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x.$$
C'est l'intégrale de « la courbe du haut moins la courbe du bas ». Le résultat vaut que les courbes soient au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses : seul compte l'écart $f-g\ge0$.
Justification
Si $0\le g\le f$, le domaine sous $\mathcal{C}_f$ est la réunion du domaine sous $\mathcal{C}_g$ et du domaine entre les deux courbes ; on retranche les aires. Dans le cas général, on choisit une constante $k$ telle que $g+k\ge0$ : translater les deux courbes vers le haut ne change ni l'aire cherchée ni la différence $(f+k)-(g+k)=f-g$.
Entre une droite et une parabole
Soit $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$ sur $[0\,;\,1]$. Pour $x\in[0\,;\,1]$, $f(x)-g(x)=x(1-x)\ge0$, donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$. $$\mathcal{A}=\int_0^1(x-x^2)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16\text{ u.a.}$$
Aire entre une courbe négative et l'axe des abscisses
Soit $h(x)=x^2-2x=x(x-2)$. Sur $[0\,;\,2]$, $h(x)\le0$ : la courbe est sous l'axe des abscisses (d'équation $y=0$). La courbe du haut est l'axe, celle du bas est $\mathcal{C}_h$, donc $$\mathcal{A}=\int_0^2\big(0-h(x)\big)\,\mathrm{d}x=-\left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_0^2=-\left(\frac83-4\right)=\frac43\text{ u.a.}$$
S’entraîner
- Intégrales et aires géométriques
- Linéarité et relation de Chasles
- Valeurs moyennes
- Aire entre une parabole et une droite
- Aire et aire algébrique avec le logarithme
Dans le cours
Calcul intégral : Aire du domaine compris entre deux courbes