Mener une intégration par parties : méthode (Terminale spé)
Mener une intégration par parties
On l'utilise pour un produit dont on ne reconnaît pas de primitive directe, typiquement polynôme $\times$ exponentielle, polynôme $\times$ cosinus ou sinus, polynôme $\times$ logarithme.
- Choisir $u$ (à dériver) et $v'$ (à primitiver) : on dérive la partie qui se simplifie en la dérivant (le polynôme, ou $\ln x$) et on primitive celle dont la primitive est simple ($e^x$, $\cos x$, $\sin x$).
- Écrire clairement les quatre fonctions : $u(x)=\dots$, $u'(x)=\dots$, $v'(x)=\dots$, $v(x)=\dots$, et préciser qu'elles sont dérivables à dérivées continues.
- Appliquer la formule sans oublier le signe moins devant la seconde intégrale.
- Calculer le crochet et la nouvelle intégrale, qui doit être plus simple que l'initiale. Si elle est plus compliquée, le choix de $u$ et $v'$ est à inverser.
Polynôme fois exponentielle
Calculer $I=\int_0^1x\,e^x\,\mathrm{d}x$.
On pose $u(x)=x$, $v'(x)=e^x$, donc $u'(x)=1$, $v(x)=e^x$. Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur $[0\,;\,1]$. $$I=\big[x\,e^x\big]_0^1-\int_0^1e^x\,\mathrm{d}x=(e-0)-\big[e^x\big]_0^1=e-(e-1)=1.$$
Polynôme fois sinus
Calculer $J=\int_0^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x$.
On pose $u(x)=x$, $v'(x)=\sin x$, donc $u'(x)=1$, $v(x)=-\cos x$. $$J=\big[-x\cos x\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}(-\cos x)\,\mathrm{d}x=\big(-\pi\cos\pi-0\big)+\big[\sin x\big]_0^{\pi}=\pi+0=\pi.$$
Logarithme : faire apparaître le facteur 1
Calculer $K=\int_1^e\ln x\,\mathrm{d}x$.
On écrit $\ln x=1\times\ln x$ et on pose $u(x)=\ln x$, $v'(x)=1$, donc $u'(x)=\dfrac1x$, $v(x)=x$, sur $[1\,;\,e]$. $$K=\big[x\ln x\big]_1^e-\int_1^e\frac1x\times x\,\mathrm{d}x=(e\ln e-1\times\ln1)-\int_1^e1\,\mathrm{d}x=e-(e-1)=1.$$ Au passage, la fonction $x\mapsto x\ln x-x$ est une primitive de $\ln$ sur $]0\,;\,+\infty[$, ce qui se vérifie en dérivant : $\ln x+1-1=\ln x$.
Deux intégrations par parties successives
Pour $x^2e^x$, une première intégration par parties (avec $u(x)=x^2$) ramène à $\int x\,e^x$, qu'une seconde intégration par parties permet de calculer. Par exemple $$\int_0^1x^2e^x\,\mathrm{d}x=\big[x^2e^x\big]_0^1-2\int_0^1x\,e^x\,\mathrm{d}x=e-2\times1=e-2.$$
S’entraîner
- Intégrations par parties
- Suite d'intégrales avec des puissances du logarithme
- Deux intégrales jumelles
- Type bac : aire sous une courbe exponentielle
- Type bac : une suite d'intégrales avec ln(1+x)