Partie A
On considère la fonction $h$ définie sur $[0\,;\,1]$ par $h(x)=x-\ln(1+x)$.
- Étudier les variations de $h$ sur $[0\,;\,1]$.
- En déduire que pour tout $x\in[0\,;\,1]$ : $0\le\ln(1+x)\le x$.
Partie B
Pour tout entier $n\ge0$, on pose $$I_n=\int_0^1x^n\ln(1+x)\,\mathrm{d}x.$$
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a. Vérifier que pour tout $x\in[0\,;\,1]$, $\dfrac{x}{1+x}=1-\dfrac{1}{1+x}$.
b. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $I_0=2\ln2-1$.
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On choisit, pour primitive de $x\mapsto x$, la fonction $v$ définie par $v(x)=\dfrac{x^2-1}{2}$. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $I_1=\dfrac14$.
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Montrer que pour tout $n$, $I_n\ge0$.
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Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante. En déduire qu'elle converge.
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À l'aide de la partie A, montrer que pour tout $n$, $I_n\le\dfrac{1}{n+2}$. En déduire la limite de $(I_n)$.
Pour A1, $h'(x)=\dfrac{x}{1+x}$ après réduction au même dénominateur.
Pour $I_0$ et $I_1$, dériver $\ln(1+x)$. Le choix de $v(x)=\frac{x^2-1}{2}$ permet de simplifier $\dfrac{x^2-1}{1+x}$.
Pour B5, multiplier l'inégalité $\ln(1+x)\le x$ par $x^n\ge0$, puis intégrer.
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