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Formule d'intégration par parties : énoncé (Terminale spé)
Théorème
Formule d'intégration par parties
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, à dérivées continues sur $I$, et $a,b\in I$. Alors $$\int_a^b u(x)\,v'(x)\,\mathrm{d}x=\big[u(x)\,v(x)\big]_a^b-\int_a^b u'(x)\,v(x)\,\mathrm{d}x.$$
Démonstration : Formule d'intégration par parties
Démonstration
Formule d'intégration par parties
La fonction $uv$ est dérivable sur $I$ et $(uv)'=u'v+uv'$. Cette dérivée est continue, et $uv$ en est une primitive, donc $$\int_a^b\big(u'v+uv'\big)=\big[uv\big]_a^b.$$ Par linéarité, $\int_a^b u'v+\int_a^b uv'=\big[uv\big]_a^b$, d'où $\int_a^b uv'=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b u'v$. Toutes les intégrales écrites existent car $u'v$ et $uv'$ sont continues.
S’entraîner
- Intégrations par parties
- Suite d'intégrales avec des puissances du logarithme
- Deux intégrales jumelles
- Type bac : aire sous une courbe exponentielle
- Type bac : une suite d'intégrales avec ln(1+x)