Calculer à l'aide d'une intégration par parties :
- $\displaystyle A=\int_0^{\pi}x\cos x\,\mathrm{d}x$
- $\displaystyle B=\int_1^ex\ln x\,\mathrm{d}x$
- $\displaystyle C=\int_0^1(2x+1)\,e^{-x}\,\mathrm{d}x$
On dérive la partie polynomiale ou le logarithme, on primitive la partie trigonométrique ou exponentielle.
Pour $B$, poser $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=x$.
Pour $C$, une primitive de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$ : attention aux signes.
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On pose $u(x)=x$, $v'(x)=\cos x$, donc $u'(x)=1$, $v(x)=\sin x$. Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur $[0\,;\,\pi]$. $$A=\big[x\sin x\big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x=(\pi\sin\pi-0)-\big[-\cos x\big]_0^{\pi}=0-\big(-\cos\pi+\cos0\big)=-(1+1)=-2.$$ Le résultat négatif est possible : $x\cos x$ est négatif sur $\left]\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$, là où $x$ est le plus grand.
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On pose $u(x)=\ln x$, $v'(x)=x$, donc $u'(x)=\dfrac1x$, $v(x)=\dfrac{x^2}{2}$. Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur $[1\,;\,e]$. $$B=\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\frac1x\times\frac{x^2}{2}\,\mathrm{d}x=\frac{e^2}{2}-0-\int_1^e\frac x2\,\mathrm{d}x=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e.$$ Donc $$B=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{2e^2-e^2+1}{4}=\frac{e^2+1}{4}.$$
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On pose $u(x)=2x+1$, $v'(x)=e^{-x}$, donc $u'(x)=2$, $v(x)=-e^{-x}$. Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur $[0\,;\,1]$. $$C=\big[-(2x+1)e^{-x}\big]_0^1-\int_0^12\times(-e^{-x})\,\mathrm{d}x=\big(-3e^{-1}+1\big)+2\int_0^1e^{-x}\,\mathrm{d}x.$$ Or $\int_0^1e^{-x}\,\mathrm{d}x=\big[-e^{-x}\big]_0^1=1-e^{-1}$. Donc $$C=1-3e^{-1}+2-2e^{-1}=3-\frac5e.$$ Contrôle : $C\approx1{,}16$, cohérent avec une fonction qui varie entre $1$ et $3e^{-1}\approx1{,}10$ en passant par environ $1{,}21$.
$A=-2$ ; $B=\dfrac{e^2+1}{4}$ ; $C=3-\dfrac5e$