Pour tout entier $n\ge0$, on pose $$I_n=\int_1^e(\ln x)^n\,\mathrm{d}x,$$ avec la convention $(\ln x)^0=1$.
- Calculer $I_0$ et $I_1$.
- À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout $n\ge0$ : $$I_{n+1}=e-(n+1)I_n.$$
- En déduire $I_2$ et $I_3$.
- Montrer que pour tout $n$, $I_n\ge0$, puis que la suite $(I_n)$ est décroissante.
- Déduire des questions 2 et 4 que $I_n\le\dfrac{e}{n+1}$, puis la limite de $(I_n)$.
- Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}nI_n$.
Pour $I_1$, utiliser la primitive $x\mapsto x\ln x-x$ de $\ln$.
Écrire $(\ln x)^{n+1}=1\times(\ln x)^{n+1}$, poser $v'(x)=1$ et dériver $(\ln x)^{n+1}$ comme une composée.
Sur $[1\,;\,e]$, on a $0\le\ln x\le1$. Pour la question 6, écrire $nI_n=(n+1)I_n-I_n$.
-
$I_0=\int_1^e1\,\mathrm{d}x=e-1$. Avec la primitive $x\mapsto x\ln x-x$ : $I_1=\big[x\ln x-x\big]_1^e=(e-e)-(0-1)=1$.
-
Soit $n\ge0$. On pose $u(x)=(\ln x)^{n+1}$ et $v'(x)=1$, donc $u'(x)=(n+1)\dfrac1x(\ln x)^n$ et $v(x)=x$. Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur $[1\,;\,e]$. $$I_{n+1}=\big[x(\ln x)^{n+1}\big]_1^e-\int_1^e(n+1)\frac1x(\ln x)^n\times x\,\mathrm{d}x=\big(e\times1-1\times0\big)-(n+1)\int_1^e(\ln x)^n\,\mathrm{d}x.$$ Donc $I_{n+1}=e-(n+1)I_n$. Pour $n=0$, on retrouve $I_1=e-(e-1)=1$.
-
$I_2=e-2I_1=e-2$ et $I_3=e-3I_2=e-3e+6=6-2e$.
-
Signe : pour $x\in[1\,;\,e]$, $\ln x\ge0$ donc $(\ln x)^n\ge0$. Comme $1\le e$, par positivité $I_n\ge0$.
Variations : par linéarité, $$I_{n+1}-I_n=\int_1^e(\ln x)^n(\ln x-1)\,\mathrm{d}x.$$ Pour $x\in[1\,;\,e]$, $(\ln x)^n\ge0$ et $\ln x-1\le0$, donc la fonction intégrée est négative et $I_{n+1}-I_n\le0$. La suite est décroissante. (Contrôle : $I_0\approx1{,}72$, $I_1=1$, $I_2\approx0{,}72$, $I_3\approx0{,}56$.)
-
D'après la question 2, $(n+1)I_n=e-I_{n+1}$. Comme $I_{n+1}\ge0$, $(n+1)I_n\le e$, donc $$0\le I_n\le\frac{e}{n+1}.$$ Comme $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{e}{n+1}=0$, le théorème des gendarmes donne $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0$.
-
$(n+1)I_n=e-I_{n+1}$ et $\lim I_{n+1}=0$, donc $\lim(n+1)I_n=e$. Alors $nI_n=(n+1)I_n-I_n$ tend vers $e-0=e$.
$I_0=e-1$, $I_1=1$, $I_2=e-2$, $I_3=6-2e$ ; $\lim I_n=0$ ; $\lim nI_n=e$