Exercice corrigé : Aire et aire algébrique avec le logarithme

On note $\mathcal{C}$ la courbe de la fonction $\ln$ dans un repère orthonormé.

1. Vérifier que $G(x)=x\ln x-x$ définit une primitive de $\ln$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
2. Étudier le signe de $\ln x$ sur $\left[\dfrac1e\,;\,e\right]$.
3. Calculer $\displaystyle I=\int_{1/e}^e\ln x\,\mathrm{d}x$.
4. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\dfrac1e$ et $x=e$. Expliquer pourquoi $\mathcal{A}\neq I$.