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Cas particulier : le changement de signe : énoncé (Terminale spé)

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Cas particulier : le changement de signe

Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires (c'est-à-dire $f(a)\times f(b)\leqslant 0$), alors l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[a\,;b]$.

C'est le théorème appliqué avec $k=0$.

Remarque

Ce que le théorème affirme, et ce qu'il n'affirme pas

  • Il donne l'existence d'une solution, pas son unicité : la solution peut ne pas être unique.
  • Il ne donne pas la valeur de la solution, seulement sa présence dans $[a\,;b]$.
  • L'hypothèse de continuité est indispensable. Avec la partie entière sur $[0\,;1]$ : $E(0)=0$ et $E(1)=1$, mais l'équation $E(x)=0{,}5$ n'a aucune solution, car $E$ ne prend que des valeurs entières.
Exemple

Existence d'une solution

Soit $g(x)=x^3-2x-5$, continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme). On a $g(2)=8-4-5=-1$ et $g(3)=27-6-5=16$.

$g$ est continue sur $[2\,;3]$ et $0$ est compris entre $g(2)=-1$ et $g(3)=16$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ admet au moins une solution dans $[2\,;3]$.

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