Exercice corrigé : Suite définie par les solutions d'une équation

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0\,;1]$ par $f_n(x)=x^n+x-1$.

1. Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution dans $[0\,;1]$, notée $\alpha_n$, et que $0<\alpha_n<1$.
2. Calculer $\alpha_1$ et $\alpha_2$.
3. Montrer que $f_{n+1}(\alpha_n)=\alpha_n^{\,n}(\alpha_n-1)$. En déduire le signe de $f_{n+1}(\alpha_n)$, puis que $\alpha_n<\alpha_{n+1}$.
4. En déduire que la suite $(\alpha_n)$ converge vers un réel $\ell$ tel que $\dfrac12\leqslant\ell\leqslant 1$.
5. On suppose par l'absurde que $\ell<1$. Montrer que $0<\alpha_n^{\,n}\leqslant\ell^{\,n}$ pour tout $n\geqslant 1$, puis aboutir à une contradiction. Conclure.