Exercice corrigé : Sujet type bac : étude d'une fonction et de ses zéros

from math import exp

def f(x):
    return (2 - x) * exp(x) - 1

def dichotomie(f, a, b, e):
    while b - a > e:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

print(dichotomie(f, 1, 2, 0.001))

Partie A

1. a. Pour tout réel $x$, $(2-x)\mathrm{e}^x=2\mathrm{e}^x-x\,\mathrm{e}^x$. Or $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0$ et $\lim_{x\to-\infty}x\,\mathrm{e}^x=0$. Donc $\lim_{x\to-\infty}(2-x)\mathrm{e}^x=0$ et $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1$.

b. $\lim_{x\to+\infty}(2-x)=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^x=+\infty$. Par produit, $\lim_{x\to+\infty}(2-x)\mathrm{e}^x=-\infty$, donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.

2. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x)=2-x$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$ : $u'(x)=-1$, $v'(x)=\mathrm{e}^x$, donc $$f'(x)=-\mathrm{e}^x+(2-x)\mathrm{e}^x=(1-x)\,\mathrm{e}^x.$$ Comme $\mathrm{e}^x>0$, $f'(x)$ a le signe de $1-x$ : positif sur $]-\infty\,;1]$, négatif sur $[1\,;+\infty[$. De plus $f(1)=\mathrm{e}-1\approx 1{,}72$.

3. $f$ est dérivable, donc continue sur $\mathbb{R}$.

• Sur $]-\infty\,;1]$ : $f$ est continue et strictement croissante, de $-1$ (limite en $-\infty$) à $\mathrm{e}-1$. Le réel $0$ est compris entre $-1$ et $\mathrm{e}-1$ (strictement au-dessus de $-1$). D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-\infty\,;1]$.
• Sur $[1\,;+\infty[$ : $f$ est continue et strictement décroissante, de $\mathrm{e}-1$ à $-\infty$ ; $0$ est compris entre ces valeurs : une unique solution $\beta$ dans $[1\,;+\infty[$.

Comme $f(1)=\mathrm{e}-1\neq 0$, on a $\alpha<1<\beta$. L'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions.

4. $f(-2)=4\mathrm{e}^{-2}-1\approx -0{,}46<0$ et $f(-1)=3\mathrm{e}^{-1}-1\approx 0{,}10>0$. Comme $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;1]$ et $f(\alpha)=0$, on obtient $-2<\alpha<-1$.

À la calculatrice : $f(-1{,}2)=3{,}2\,\mathrm{e}^{-1{,}2}-1\approx -0{,}04<0$ et $f(-1{,}1)=3{,}1\,\mathrm{e}^{-1{,}1}-1\approx 0{,}03>0$. Donc $-1{,}2<\alpha<-1{,}1$.

5. • Sur $]-\infty\,;\alpha[$ : $f$ strictement croissante, donc $f(x)<f(\alpha)=0$.

• Sur $]\alpha\,;1]$ : $f(x)>f(\alpha)=0$.
• Sur $[1\,;\beta[$ : $f$ strictement décroissante, donc $f(x)>f(\beta)=0$.
• Sur $]\beta\,;+\infty[$ : $f(x)<f(\beta)=0$.

6. $f(x)=-1\iff(2-x)\mathrm{e}^x=0\iff 2-x=0$ (car $\mathrm{e}^x>0$) $\iff x=2$. L'unique solution est $x=2$.

Cohérence : sur $]-\infty\,;1]$, $f$ croît strictement à partir de la limite $-1$, qui n'est jamais atteinte, donc aucune solution ; sur $[1\,;+\infty[$, $f$ décroît strictement de $\mathrm{e}-1$ à $-\infty$ et prend la valeur $-1$ exactement une fois. On trouve bien une seule solution, située dans $[1\,;+\infty[$.

Partie B

1. $f(1)=\mathrm{e}-1>0$ et $f(2)=0\times\mathrm{e}^2-1=-1<0$ : $f(1)$ et $f(2)$ sont de signes contraires. Sur $[1\,;2]\subset[1\,;+\infty[$, $f$ est continue et strictement décroissante ; d'après la question A.3, la seule solution de $f(x)=0$ dans $[1\,;+\infty[$ est $\beta$, donc $\beta\in[1\,;2]$ et c'est l'unique solution dans cet intervalle.

2. Au départ $a=1$, $b=2$, avec $f(1)>0$.

3. Après $n$ passages, l'intervalle a pour longueur $\dfrac{2-1}{2^n}=\dfrac{1}{2^n}$. La boucle s'arrête au premier $n$ tel que $\dfrac{1}{2^n}\leqslant 0{,}001$, soit $2^n\geqslant 1000$. Comme $2^9=512$ et $2^{10}=1024$, le programme effectue 10 passages. L'intervalle renvoyé a pour longueur $\dfrac{1}{1024}\approx 9{,}8\times 10^{-4}$.

4. $f(1{,}84)=0{,}16\,\mathrm{e}^{1{,}84}-1\approx 0{,}007>0$ et $f(1{,}85)=0{,}15\,\mathrm{e}^{1{,}85}-1\approx -0{,}046<0$. Comme $f$ est strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$ et $f(\beta)=0$, on obtient $1{,}84<\beta<1{,}85$, ce qui est cohérent avec l'intervalle $[1{,}75\,;1{,}875]$ obtenu à la question 2.

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