Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle non bornéEncadrer une solutionÉtudier le signe d'une fonction
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\,\mathrm{e}^{x}-1$.
- Montrer que pour tout $x\leqslant 0$, $f(x)<0$.
- Étudier les variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
- Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.
- Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
- Montrer que $\mathrm{e}^{-\alpha}=\alpha$.
- En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
Indice 1
Pour $x\leqslant 0$, étudier le signe du produit $x\,\mathrm{e}^x$.
Indice 2
Sur $[0\,;+\infty[$, $f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x$ ; appliquer le corollaire avec $f(0)$ et la limite en $+\infty$.
Indice 3
Pour la question 5, partir de l'égalité $\alpha\,\mathrm{e}^\alpha=1$.
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