Exercice corrigé : Sujet type bac : suite récurrente et point fixe

Exercice (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{4x}{x+1}$, et la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

Partie A : étude de $f$

1. Justifier que $f$ est continue sur $[0\,;+\infty[$.
2. Montrer que pour tout $x\geqslant 0$, $f(x)=4-\dfrac{4}{x+1}$. En déduire que $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.
3. Résoudre dans $[0\,;+\infty[$ l'équation $f(x)=x$.

Partie B : convergence de $(u_n)$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $1\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 3$.
3. En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Partie C : expression explicite

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n}$.

1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac14$ et préciser $v_0$.
2. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=\dfrac{3}{1+2\left(\frac14\right)^n}$.
3. Retrouver la limite de $(u_n)$.
4. Montrer que $3-u_n=\dfrac{6}{4^n+2}$, puis déterminer le plus petit entier $n$ tel que $3-u_n<10^{-3}$.