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Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=\begin{cases} x^2-3 & \text{si } x\leqslant 2\\ 3x-5 & \text{si } x>2\end{cases}$$ La fonction $f$ est-elle continue en $2$ ?
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Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ si $x\neq 2$, et $g(2)=3$. La fonction $g$ est-elle continue en $2$ ?
Calculer d'abord $f(2)$ avec l'expression qui contient le réel $2$, puis la limite à gauche et la limite à droite en $2$.
Pour $g$, factoriser le numérateur afin de simplifier $g(x)$ lorsque $x\neq 2$.
Comparer la limite obtenue avec la valeur imposée $g(2)$.
- Le réel $2$ relève de la première expression : $f(2)=2^2-3=1$.
- Limite à gauche : $\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(x^2-3)=4-3=1$, car $x\mapsto x^2-3$ est un polynôme, continu en $2$.
- Limite à droite : $\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}(3x-5)=6-5=1$.
Les limites à gauche et à droite existent et sont toutes deux égales à $f(2)=1$. Donc $f$ est continue en $2$.
- Pour $x\neq 2$, on a $x^2-4=(x-2)(x+2)$, donc $$g(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2.$$ Par conséquent $\lim_{x\to 2}g(x)=\lim_{x\to 2}(x+2)=4$.
Or $g(2)=3\neq 4$. La limite de $g$ en $2$ n'est pas égale à $g(2)$ : $g$ n'est pas continue en $2$.
Remarque : si l'on avait posé $g(2)=4$, la fonction $g$ aurait été égale à $x\mapsto x+2$ sur $\mathbb{R}$, donc continue en $2$.
$f$ est continue en $2$ ; $g$ n'est pas continue en $2$