Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=\begin{cases} a\,\mathrm{e}^{x} & \text{si } x\leqslant 0\\ x^2+2x+3 & \text{si } x>0\end{cases}$$
- Déterminer la valeur de $a$ pour laquelle $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
- On prend cette valeur de $a$. Étudier la limite du taux d'accroissement $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}$ quand $h$ tend vers $0$ par valeurs négatives, puis par valeurs positives. On rappelle que $\lim_{h\to 0}\dfrac{\mathrm{e}^h-1}{h}=1$.
- La fonction $f$ est-elle dérivable en $0$ ? Quel résultat du cours ce exemple illustre-t-il ?
Traiter d'abord la continuité sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, puis le point de raccord $0$.
En $0$, comparer $f(0)$, la limite à gauche et la limite à droite.
Pour $h<0$, le taux s'écrit $3\times\dfrac{\mathrm{e}^h-1}{h}$ ; pour $h>0$, il se simplifie par $h$.
- Hors de $0$. Sur $]-\infty\,;0[$, $f(x)=a\,\mathrm{e}^x$ : la fonction exponentielle multipliée par une constante est continue. Sur $]0\,;+\infty[$, $f$ coïncide avec un polynôme, donc elle y est continue.
En $0$. Le réel $0$ relève de la première expression : $f(0)=a\,\mathrm{e}^0=a$.
- Limite à gauche : $\lim_{x\to 0^-}a\,\mathrm{e}^x=a\,\mathrm{e}^0=a$, par continuité de l'exponentielle en $0$.
- Limite à droite : $\lim_{x\to 0^+}(x^2+2x+3)=3$.
$f$ est continue en $0$ si et seulement si $a=3$. Avec ce qui précède, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $a=3$.
- On prend $a=3$, donc $f(0)=3$.
Pour $h<0$ : $$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{3\mathrm{e}^h-3}{h}=3\times\frac{\mathrm{e}^h-1}{h}.$$ Comme $\dfrac{\mathrm{e}^h-1}{h}\to 1$, ce taux tend vers $3$ quand $h\to 0^-$.
Pour $h>0$ : $$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^2+2h+3-3}{h}=\frac{h(h+2)}{h}=h+2,$$ qui tend vers $2$ quand $h\to 0^+$.
- Les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement sont différentes ($3\neq 2$) : le taux n'a pas de limite en $0$, donc $f$ n'est pas dérivable en $0$. La courbe présente un point anguleux en $0$.
Cet exemple illustre que la réciproque du théorème « dérivable implique continue » est fausse : $f$ est continue en $0$ sans y être dérivable.
$a=3$ ; $f$ est continue mais non dérivable en $0$