Cas particuliers à connaître : énoncé (Terminale spé)
Cas particuliers à connaître
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| $e^{u}$ | $u'e^{u}$ | aucune |
| $u^n$, $n\in\mathbb{N}^*$ | $n\,u'\,u^{n-1}$ | aucune |
| $u^n$, $n$ entier négatif | $n\,u'\,u^{n-1}$ | $u$ ne s'annule pas sur $I$ |
| $\frac{1}{u}$ | $-\frac{u'}{u^2}$ | $u$ ne s'annule pas sur $I$ |
| $\sqrt{u}$ | $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ | $u>0$ sur $I$ |
| $g(ax+b)$ | $a\,g'(ax+b)$ | $g$ dérivable là où il faut |
Chaque ligne est le théorème appliqué avec $v(X)=e^X$, $v(X)=X^n$, $v(X)=\frac1X$, $v(X)=\sqrt X$ ou $u(x)=ax+b$.
Calculs de dérivées
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$f(x)=(3x^2-1)^4$ sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x)=3x^2-1$, $u'(x)=6x$ : $$f'(x)=4\times 6x\times(3x^2-1)^3=24x(3x^2-1)^3.$$
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$g(x)=e^{3x^2-x}$ sur $\mathbb{R}$ : $g'(x)=(6x-1)e^{3x^2-x}$.
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$h(x)=\sqrt{1-x^2}$. La fonction $u:x\mapsto 1-x^2$ est strictement positive sur $]-1\,;1[$, donc $h$ est dérivable sur $]-1\,;1[$ et $$h'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}.$$
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$k(x)=\frac{1}{(x^2+1)^2}=(x^2+1)^{-2}$ sur $\mathbb{R}$ ($x^2+1>0$) : $$k'(x)=-2\times 2x\times(x^2+1)^{-3}=\frac{-4x}{(x^2+1)^3}.$$
S’entraîner
- Dériver des fonctions composées
- Composer dans les deux sens
- Convexité d'une fonction polynôme de degré 4
Dans le cours
Compléments sur la dérivation, convexité : Cas particuliers à connaître