Fonction composée : définition (Terminale spé)
Fonction composée
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $v$ une fonction définie sur un intervalle $J$, telles que pour tout $x\in I$, $u(x)\in J$.
La composée de $u$ suivie de $v$ est la fonction notée $v\circ u$ (on lit « $v$ rond $u$ ») définie sur $I$ par : $$(v\circ u)(x)=v\big(u(x)\big).$$ On applique d'abord $u$, puis $v$ au résultat.
Décomposer une fonction
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$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ sur $[-1\,;1]$. On pose $u(x)=1-x^2$ et $v(X)=\sqrt{X}$. Pour $x\in[-1\,;1]$, $u(x)\geqslant 0$, donc $v(u(x))$ existe et $f=v\circ u$.
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$g(x)=e^{3x^2-x}$ sur $\mathbb{R}$ : $u(x)=3x^2-x$ et $v(X)=e^X$, donc $g=v\circ u$.
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$h(x)=(x^2+1)^5$ : $u(x)=x^2+1$ et $v(X)=X^5$.
L'ordre compte
En général $v\circ u\neq u\circ v$. Avec $u(x)=x+1$ et $v(x)=x^2$ : $$(v\circ u)(x)=(x+1)^2 \qquad (u\circ v)(x)=x^2+1.$$ Pour $x=1$ : $(v\circ u)(1)=4$ alors que $(u\circ v)(1)=2$.
S’entraîner
- Dériver des fonctions composées
- Composer dans les deux sens
- Convexité d'une fonction polynôme de degré 4
- Lire la convexité sur le tableau de variations de f'
- Convexité d'un produit avec l'exponentielle
Dans le cours
Compléments sur la dérivation, convexité : Fonction composée