Repérer un point d'inflexion avec $f''$ : énoncé (Terminale spé)
Repérer un point d'inflexion avec $f''$
Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$ distinct des bornes. Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$, alors le point $A(a\,;f(a))$ est un point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.
Une fonction polynôme de degré 3
$f(x)=x^3-3x^2+2$ sur $\mathbb{R}$. $$f'(x)=3x^2-6x \qquad f''(x)=6x-6=6(x-1).$$
| $x$ | $-\infty$ | $1$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f''(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f$ | concave | convexe |
$f''$ s'annule en changeant de signe en $1$, et $f(1)=1-3+2=0$. Le point $A(1\,;0)$ est un point d'inflexion.
Vérification directe : $f'(1)=-3$, la tangente en $A$ est $y=-3(x-1)=-3x+3$ et $$f(x)-(-3x+3)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3,$$ négatif pour $x<1$ et positif pour $x>1$ : la courbe passe bien d'un côté à l'autre de sa tangente.
Fonction $x\mapsto e^{-x^2}$
$f(x)=e^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x)=-x^2$ : $$f'(x)=-2xe^{-x^2}.$$ Par la formule du produit : $$f''(x)=-2e^{-x^2}+(-2x)(-2x)e^{-x^2}=(4x^2-2)e^{-x^2}=2(2x^2-1)e^{-x^2}.$$ Comme $e^{-x^2}>0$, $f''(x)$ a le signe de $2x^2-1$, trinôme de racines $-\frac{\sqrt2}{2}$ et $\frac{\sqrt2}{2}$.
| $x$ | $-\infty$ | $-\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f''(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f$ | convexe | concave | convexe |
$f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;-\frac{\sqrt2}{2}\right]$ et sur $\left[\frac{\sqrt2}{2}\,;+\infty\right[$, concave sur $\left[-\frac{\sqrt2}{2}\,;\frac{\sqrt2}{2}\right]$.
Comme $f\left(\pm\frac{\sqrt2}{2}\right)=e^{-\frac12}$, la courbe admet deux points d'inflexion : $\left(-\frac{\sqrt2}{2}\,;e^{-\frac12}\right)$ et $\left(\frac{\sqrt2}{2}\,;e^{-\frac12}\right)$.
$f''(a)=0$ ne suffit pas
Pour $f(x)=x^4$ : $f''(x)=12x^2$, donc $f''(0)=0$. Mais $f''(x)\geqslant 0$ sur $\mathbb{R}$ : $f''$ ne change pas de signe, $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. La tangente en $0$ est l'axe $y=0$ et $x^4\geqslant 0$ : la courbe ne traverse pas sa tangente. L'origine n'est pas un point d'inflexion.
Il faut toujours vérifier le changement de signe de $f''$.
S’entraîner
- Convexité d'une fonction polynôme de degré 4
- Lire la convexité sur le tableau de variations de f'
- Convexité d'un produit avec l'exponentielle
- Deux points d'inflexion
- Tangente en un point d'inflexion
Dans le cours
Compléments sur la dérivation, convexité : Repérer un point d'inflexion avec $f''$