On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^3+3x^2+x-2$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe.
- Étudier la convexité de $f$.
- Montrer que $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion $I$, dont on donnera les coordonnées.
- Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en $I$.
- Vérifier que, pour tout réel $x$, $f(x)-(4x-3)=-(x-1)^3$. En déduire la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ et vérifier la cohérence avec la question 1.
$f''(x)$ est une expression du premier degré.
Pour la question 4, développer $(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1$.
Le signe de $(x-1)^3$ est celui de $x-1$.
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$f$ est un polynôme, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ : $$f'(x)=-3x^2+6x+1 \qquad f''(x)=-6x+6=-6(x-1).$$ $f''(x)\geqslant 0 \iff x\leqslant 1$. Donc $f$ est convexe sur $]-\infty\,;1]$ et concave sur $[1\,;+\infty[$.
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$f''$ ne s'annule qu'en $1$, en changeant de signe. $f(1)=-1+3+1-2=1$. L'unique point d'inflexion est $I(1\,;1)$.
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$f'(1)=-3+6+1=4$. $T$ a pour équation $y=4(x-1)+1$, soit $y=4x-3$.
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D'une part $f(x)-(4x-3)=-x^3+3x^2+x-2-4x+3=-x^3+3x^2-3x+1$.
D'autre part $-(x-1)^3=-(x^3-3x^2+3x-1)=-x^3+3x^2-3x+1$. Les deux expressions sont égales.
- Si $x<1$ : $(x-1)^3<0$, donc $f(x)-(4x-3)>0$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$.
- Si $x>1$ : $f(x)-(4x-3)<0$ : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $T$.
C'est cohérent : sur $]-\infty\,;1]$, $f$ est convexe donc sa courbe est au-dessus de ses tangentes ; sur $[1\,;+\infty[$, $f$ est concave donc en dessous. La courbe traverse $T$ en $I$.
Convexe sur $]-\infty;1]$, concave sur $[1;+\infty[$ ; $I(1;1)$ ; $T : y=4x-3$ ; $\mathcal{C}_f$ au-dessus de $T$ pour $x<1$, en dessous pour $x>1$