On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2e^{-x}$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe.
- Calculer $f'(x)$.
- Montrer que $f''(x)=(x^2-4x+2)e^{-x}$.
- Étudier la convexité de $f$.
- Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.
La dérivée de $x\mapsto e^{-x}$ est $x\mapsto -e^{-x}$.
Factoriser chaque dérivée par $e^{-x}$ avant de continuer.
Les racines du trinôme $x^2-4x+2$ s'obtiennent avec le discriminant ; pour les ordonnées, développer $(2\pm\sqrt2)^2$.
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$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables, et $(e^{-x})'=-e^{-x}$ : $$f'(x)=2xe^{-x}+x^2\times(-e^{-x})=(2x-x^2)e^{-x}.$$
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$f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et : $$f''(x)=(2-2x)e^{-x}+(2x-x^2)(-e^{-x})=(2-2x-2x+x^2)e^{-x}=(x^2-4x+2)e^{-x}.$$
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$e^{-x}>0$, donc $f''(x)$ a le signe de $x^2-4x+2$. Discriminant : $16-8=8$, racines $\frac{4-2\sqrt2}{2}=2-\sqrt2$ et $2+\sqrt2$. Le coefficient dominant est positif.
| $x$ | $-\infty$ | $2-\sqrt2$ | $2+\sqrt2$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f''(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f$ | convexe | concave | convexe |
$f$ est convexe sur $]-\infty\,;2-\sqrt2]$ et sur $[2+\sqrt2\,;+\infty[$, concave sur $[2-\sqrt2\,;2+\sqrt2]$.
- $f''$ s'annule en changeant de signe en $2-\sqrt2$ et en $2+\sqrt2$.
$(2-\sqrt2)^2=4-4\sqrt2+2=6-4\sqrt2$, donc $f(2-\sqrt2)=(6-4\sqrt2)e^{\sqrt2-2}$.
$(2+\sqrt2)^2=6+4\sqrt2$, donc $f(2+\sqrt2)=(6+4\sqrt2)e^{-2-\sqrt2}$.
Les points d'inflexion sont $\left(2-\sqrt2\,;(6-4\sqrt2)e^{\sqrt2-2}\right)$ et $\left(2+\sqrt2\,;(6+4\sqrt2)e^{-2-\sqrt2}\right)$, d'ordonnées environ $0{,}19$ et $0{,}38$.
Convexe sur $]-\infty;2-\sqrt2]$ et $[2+\sqrt2;+\infty[$, concave entre ; points d'inflexion $(2-\sqrt2;(6-4\sqrt2)e^{\sqrt2-2})$ et $(2+\sqrt2;(6+4\sqrt2)e^{-2-\sqrt2})$